logaritme

Batasan dan Sifat-Sifat

BATASAN
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.
a log b = c ac = b mencari pangkat
Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a  1)
b = numerus (b > 0)
c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
alog a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n

SIFAT-SIFAT
1. alog bc = alogb + alogc
2. alog bc = c alog b
3. alog b/c = alog b -alog c Hubungan alog b/c = - a log b/c
4. alog b = (clog b)/(clog a) Hubungan alog b = 1 / blog a
5. alog b. blog c = a log c
6. a alog b = b
7. alog b = c aplog bp = c  Hubungan : aqlog bp = alog bp/q
= p/q alog b
Keterangan:
1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya 10log 7 ]
2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n
Bedakan dengan log xn = n log x
Contoh:
1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !
syarat : numerus > 0
x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 -1 < x < 5 2. 3. Sederhanakan 2 3log 1/9 + 4log 2 = 2(-2) + 1/2 = 3log 2. 2log 5 .52log 3 3log 2.2log 5. 5²log3 - 3 1/2 = -3 1/2 = -7 3log 31/2 1/2 4. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9log 8 = n 3²log 2³ = n 3/2 3log 2 = n 3log 2 = 2n 3 4log 3 = 2²log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n 5. Jika log (a² / b4) Tentukan nilai dari log ³(b²/a) ! log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³(b²/a) = -24 = -24 = -24 = -12 = log (b²/a)1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = 4 Persamaan Logaritma Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma alog f(x) = alog g(x)  f(x) = g(x) alog f(x) = b  f(x) =ab f(x)log a = b  (f(x))b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0  1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !
1. xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16
2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3  x = 3 (x>0)
3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4
4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal : ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p1 = 3
²log x = 3
x1 = 2³ = 8

p2 = -1
²log x = -1
x2 = 2-1 = 1/2

Pertidaksamaan Logaritma
Bilangan pokok a > 0  1
Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1 0 < a < 1 a log f(x) > b  f(x) > ab
a log f(x) < b  f(x) < ab (tanda tetap) a log f(x) > b  f(x) < ab a log f(x) < b  f(x) > ab
(tanda berubah)
syarat f(x) > 0

Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan
1. ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1)  Hilangkan log  Tanda tetap


- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4 b. syarat : x² - 2 > 0
x(x-2) > 0
x < 0 atau x > 2

2. 1/2log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1)  Hilangkan log  Tanda berubah x < - 2 atau x > 2
a. (x² - 3) > (1/2)0
x² - 4 > 0
(x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2
b. syarat : x² - 3 > 0
(x - 3)(x + 3) > 0
x < 3 atau x > 3